L-BFGS算法介绍

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一、 L-BFGS是什么
L-BFGS是解无约束非线性规划问题最常用的方法，具有收敛速度快、内存开销少等优点，在机器学习各类算法中常有它的身影。简单的说，L-BFGS和梯度下降、SGD干的同样的事情，但大多数情况下收敛速度更快，这点在大规模计算中很重要。下图是深度学习Autoencoder模型不同优化方法的比较。

二、 L-BFGS“之前”的那些方法

这里的“之前”并不是说L-BFGS问世之前就已经存在的方法，而是指为了更好的理解L-BFGS需要了解的其他方法。无约束问题定义：

我们先从泰勒展开开始，这可以说是本文介绍的所有方法的基础。f在的一阶泰勒展开为

二阶泰勒展开为

去掉最后的余项，得到

2.1 最速下降法（Gradient descent）

CD算法的一个前提条件就是f在连续可微，并且在处的导数不为0。由公式1可知当第二项<0时f的值将下降。由Cauchy-Schwartz不等式可得

为最速下降方向。因此迭代公式为

满足

2.2 牛顿法（Newton method）

由于f的极值点就是满足f的导数为0，根据公式2，得到

假设Hesse矩阵可逆，由上式可得牛顿法迭代公式

牛顿法具有二次终止性的特点，即经过有限次迭代必达到极小点。例如，对于二次凸函数

A是对称正定矩阵，取任意初始点，根据公式3有

显然经过1次迭代即达到极值点。

但牛顿法要求f二次连续可微，并且Hesse矩阵满足可逆和正定两个条件；同时，牛顿方向不一定每次迭代都是下降方向。

阻尼牛顿法是牛顿法的修正，与牛顿法的区别是迭代公式增加了牛顿方向上的一维搜索，即

其中

是一维搜索得到的步长，满足

2.3 拟牛顿法（Quasi-Newton Method）

牛顿法每次迭代都需要计算处的Hesse矩阵的逆，同时Hesse矩阵也不一定是正定的。人们又提出了拟牛顿法，其基本思想是用不包含二阶导数的矩阵来近似Hesse矩阵的逆。将f在处展开成2阶泰勒级数并取近似，即

设Hesse矩阵可逆，可得

设近似矩阵为根据上述，必须满足

公式7称为拟牛顿条件。的不同构造方法，决定了不同的拟牛顿方法。

当时n阶对称正定矩阵时，满足牛顿条件的也必须是n阶对称正定矩阵。因此的一般构造策略为：取为任意n阶对称正定矩阵（通常为单位矩阵I），然后通过下式求出

称为校正矩阵。

DFP算法将校正矩阵定义为：

至此，根据公式4、5、6、7、10、11可以由得出并且不需要每次迭代计算Hesse矩阵。

BFGS算法用矩阵近似公式8中的Hesse矩阵，从而得到

将q与p互换，分别取代由DFP公式可以得到

令，从而得到BFGS公式：

从公式11和公式12可以看出，拟牛顿法每次迭代只需要根据前次迭代的即可以计算出，不需要求出Hesse矩阵的逆。

2.4 L-BFGS（limited-memory BFGS）

BFGS算法中每次迭代计算需要前次迭代得到的矩阵，该矩阵的存储空间至少为N(N+1)/2，N为特征维数，对于高维的应用场景，需要的存储空间将是非常巨大的。L-BFGS的基本思想就是通过存储前m次迭代的少量数据来替代前一次的矩阵。令y=q，s=p，公式12可以改写成

公式13展开并取前m项的近似，可得

由于ρ、V、s、y这些变量都最终可以由q、p两个向量计算得到，因此，我们只需存储最后m次的q、p向量即可算出加上对角阵H0，总共需要存储2*m+1个N维向量（实际应用中m一般取4到7之间的值，因此需要存储的数据远小于Hesse矩阵）。

注：公式4中步长的确定需要使用一维搜索，顾名思义，一维搜索就是沿着直线方向寻找使得目标函数值最小的参数值。一维搜索具体又分为精确一维搜索和非精确一维搜索，具体可参看相关文献。

三、 其他相关方法
由于L-BFGS是建立在目标函数的2阶泰勒展开基础上的，其前提条件就是函数的2阶导不为0。在机器学习中一般如果用L2正则都是可以满足这个条件的。如果用的是L1正则，则目标函数可能出现2阶导为0的情况。对于使用L1正则的情况，可以使用OWL-QN方法（Orthant-Wise Limited-memory Quasi-Newton），它是基于L-BFGS修改的。

据说百度首创了Shooting算法，收敛速度比L-BFGS快得多，目前还不知道怎么做的。

此外，Chih-Jen Lin（LIBSVM作者）提出的信赖域牛顿方法（Trust Region Newton Method），其收敛速度也比L-BGFS快，他开发的另一个针对大规模线性分类的软件LIBLINEAR用的就是这种优化方法。

此外，Chih-Jen Lin（LIBSVM作者）提出的信赖域牛顿方法（Trust Region Newton Method），其收敛速度也比L-BGFS快，他开发的另一个针对大规模线性分类的软件LIBLINEAR用的就是这种优化方法。

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文章来源： 网易云社区